在那之前几乎没人注意过《算术基本法则》。很少人费心读它,理解它的人就更少了。罗素也许是意识到其重要性的第一人。不过,在快速研习弗雷格著作时,他注意到弗雷格忽视了的一个困难。这个困难引起的问题乍看起来不大,但其解决方案很快成了数学基础的首要问题。

为了提供数的逻辑定义,弗雷格使用了类的概念,他把类定义为概念的外延。于是,概念“男人”和男人的类对应,概念“桌子”和桌子的类对应,依此类推。他系统中的一条公理是,每一个有意义的概念都对应于一个对象,即一个类,即此概念的外延。罗素发现,经由一串特定的推理,这公理导致一个矛盾。因为给定上述前提,那么,某些类属于自身,某些则不是:所有类的类自身也是一个类,所以就属于自身;男人的类自身不是一个男人,所以不属于自身。由此就构造出了“所有不属于自身的类的类”。现在我们问:这个类是不是自身的一个成员?无论回答是或否,都导致矛盾。显然,如果可从弗雷格的公理中推出一个矛盾,那么他的逻辑系统之为构筑全部数学的基础,就是不合格的。

发表自己的发现之前罗素写信到耶拿大学向弗雷格告知此事。那时弗雷格正在准备《算术基本法则》的第二卷;虽然在其中放进了对此悖论的一个匆忙且不成功的回应,但他明白这悖论表明他的整个系统在根本上有缺陷。罗素本人提出,用他称为“类型论”的策略来避免这个矛盾,对“类型论”的勾勒构成了《数学原则》的附录二。类型论预设一个对象类型的层级,对象聚集起来可合法地组合在一块而形成集合:于是,第一层类型是个体,第二层是个体的类,第三层是个体的类的类,依此类推。集合必须是同一类型的对象的集;于是就没有“是自身成员的类”这种东西了。

类型论确实避免了矛盾,但代价是把一个有点儿特设的尺度引入了系统。或许真有不同类型的事物;或许也真没有“是自身成员的类”这样的东西——但这些不太可能是罗素原本打算当作出发点的那种平凡自明的逻辑真理。罗素自己对此并不满意,他的书结束于一声檄讨:

此困难的完全解决会是什么,我尚未成功地发现;但因其损害了推理的最终基础,我诚挚地提请每一个逻辑学学生注意对之的研究。

这正是钓住维特根斯坦所需的饵;照着罗素的建议,他热切地致力于解决这个悖论。在曼彻斯特的头两个学期,他花了许多时间细致地研习罗素的《数学原则》和弗雷格的《算术基本法则》。1909年4月前的某个时候,他对自己首次尝试的解决方案作了系统的表述,并寄给了罗素的朋友、数学家和数学史家菲利普e.b.乔丹。

维特根斯坦把自己的解决方案寄给乔丹而不是罗素或弗雷格,也许说明此举带有某种程度的试探性。他大概是在《哲学杂志》(iphilosophical/iimagazine/i)1905年的某一期上瞥见乔丹的名字的,那一期上刊载了乔丹论数学基础的一篇文章,还有维特根斯坦在曼彻斯特的教授霍勒斯·兰姆的一篇文章。根据乔丹的通信记录本4月20日那一则,他是先跟罗素讨论然后才答复了维特根斯坦的解决尝试。看上去他俩都不愿接受它:

罗素说,我在答复维特根斯坦(他“解决”了罗素的矛盾)时说的看法跟他自己的看法一致。

据维特根斯坦的姐姐赫尔米勒说,由于当时对数学哲学的着迷,他受尽了两种冲突的召唤产生的撕扯感的折磨。乔丹对他的“解决”的驳回可能使他服了气,暂时坚持从事航空学。两年以后他才又回去面对这一冲突:终于直接联系弗雷格和罗素,向他们呈出一种更为深思熟虑的哲学立场。虽然他对哲学问题有足够的感受力,但仍然有待某个人使他相信自己有哲学天分。

维特根斯坦仍然认为自己对航空工程既无天分也无感觉,但还是坚持设计和建造飞行器引擎的努力。他提出的引擎设计方案保存了下来,从这个方案里看出,他的想法是用燃烧室喷出的高速气体转动螺旋桨(有点像用软管中的水压转动旋转式草地喷洒器)。这个想法在根本上有缺陷,而且就驱动一架飞机而言很不实际。不过,第二次世界大战期间,这个想法被成功地用于某类直升机的设计。

维特根斯坦拥有一个燃烧室,这是一家当地厂商特别为他建造的;他的研究的大量工作是拿各种排放喷嘴在燃烧室里做实验。他有位帮手,一位名叫吉姆·巴姆伯的实验室助理;他后来说吉姆是“我在曼彻斯特期间相处融洽的极少数人之一”。他对自己不得不投身于工程工作的总体性烦躁,其程度由于这差事要求精度的本性而增强了,巴姆伯回忆道:“他神经质的脾气使他极不适合搞这种研究”:

……事情不对头时——这是常有的事——他就跺足捶胸、喋喋不休地用德语咒骂。

据巴姆伯说,维特根斯坦午餐后不休息,而是连续地干到晚上,然后去放松:或是在很热的水里泡澡(“他常常吹嘘水的温度”),或是听哈勒交响乐团的音乐会;偶尔巴姆伯陪他去音乐会,巴姆伯描述:“他经常整场音乐会坐在那里一言不发,完全沉浸其中。”

别的消遣还有跟埃克尔斯一起外出散步;那时埃克尔斯已离开了大学,在曼彻斯特得到了一个工程师职位。某个星期天下午的事留在了埃克尔斯的记忆里。维特根斯坦决定要去海边,去布莱克浦。发现没有合适的火车后,他没想别的法子,而是提议单为他俩租一趟专列。埃克尔斯最终劝阻了他,劝他采纳了不那么昂贵(虽然照埃克尔斯看还是很奢侈)的方案;他们乘出租车去利物浦,在那儿坐了默西河渡船[26]。

在曼彻斯特的第二年,维特根斯坦放弃了设计和建造喷气引擎的努力,专心设计螺旋桨。大学很认真地对待他的这项工作,决定给予他一年的研究奖学金;那是他在那儿的最后一年,即1910—1911年。他对自己工作的重要性和原创性足够自信,为自己的设计申请了专利。他的申请——以及对他的设计“用于航空器的螺旋桨的改进”的一个临时性描述——的登记日期是1910年11月22日。1911年6月21日他递交了完整的描述,当年8月17日专利获得了批准。

然而,相比于在工程领域谋职的决心,此时维特根斯坦对哲学问题的着迷已占了上风。虽然奖学金又延了一年,而且1911年10月他仍被列为曼彻斯特大学的学生,但他当飞行器制造者的日子已在那年暑假结束了;在那个暑假,“在持续的、无法形容的、几乎病态的躁动中”,他为自己设想的一本哲学著作拟定了方案。