b那么m2n2＝2。
如果m和n有一个公约数，我们可以把它消b去，于是m和n必有一个是奇数。现在m2＝2n2，所以m是偶数，所以m也是偶数；因此n就是奇数。假设m＝2p。那末4p2＝2n2，因此n2＝2p2，而因此n便是偶数，与假设相反。
所以就没有mn的分数可以约尽弦。以上的证明，实质上就b是欧几里德第十编中的证明1。
这种论证就证明了无论我们采取什么样的长度单位，总会有些长度对于那个单位不能具有确切的数目关系；也就是说，不能有两个整数m、n，从而使问题中的m倍的长度等于n倍的单位。
这就使得希腊的数学家们坚信，几何学的成立必定是独立的而与算学无关。
柏拉图对话录中有几节可以证明，在他那时候已经有人独立地处理几何学了；几何学完成于欧
1但是这并非欧几里德所发现的，见希斯：《希腊的数学》。以上的证明或许柏拉图是知道的。
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07卷一古代哲学
几里德。欧几里德在第二编中从几何上证明了许多我们会自然而然用代数来证明的东西，例如（a＋b）
2＝a2＋2ab＋b2。
正是因为有不可公约数的困难，他才认为这种办法是必要的。
他在第五编、第六编中论比例时，情形也是如此。整个体系在逻辑上是醒目的，并且已经预示着十九世纪数学家们的严谨了。只要关于不可公约数还没有恰当的算学理论存在时，则欧几里德的方法便是几何学中最好的可能方法。当笛卡儿介绍了坐标几何学从而再度确定了算学至高无上的地位时，他曾设想不可公约数的问题有解决的可能性，虽然在他那时候还不曾发现这种解法。
几何学对于哲学与科学方法的影响一直是深远的。希腊人所建立的几何学是从自明的、或者被认为是自明的公理出发，根据演绎的推理前进，而达到那些远不是自明的定理。
公理和定理被认为对于实际空间是真确的，而实际空间又是经验中所有的东西。这样，首先注意到自明的东西然后再运用演绎法，就好像是可能发现实际世界中一切事物了。这种观点影响了柏拉图和康德以及他们两人之间的大部分的哲学家。
“独立宣言”
1说：“我们认为这些真理是自明的”
，其本身便脱胎于欧几里德。十八世纪天赋人权的学说，就是一种在政治方面追求欧几里德式的公理2。牛顿的《原理》一书，尽管它的材料公认是经验的，但是它的形式却完全是被欧几里德所支配着的。严格的经院形式的神学，其体裁也出于同一
1这里指的是美国的“独立宣言”——中译本编者2佛兰克林用“自明的”代替了杰弗逊的“神圣的与不可否认的”。
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第一篇前苏格拉底哲学家17
个来源。个人的宗教得自天人感通，神学则得自数学；而这两者都可以在毕达哥拉斯的身上找到。
我相信，数学是我们信仰永恒的与严格的真理的主要根源，也是信仰有一个超感的可知的世界的主要根源。几何学讨论严格的圆，但是没有一个可感觉的对象是严格地圆形的；。。。
无论我们多么小心谨慎地使用我们的圆规，总会有某些不完备和不规则的。